Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} a & b & c \\ d & e & f \\ 2 g & 2 h & 2 i \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} e & f \\ 2 h & 2 i \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a | \begin{array}{c} e & f \\ 2 h & 2 i \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} d & f \\ 2 g & 2 i \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- b | \begin{array}{c} d & f \\ 2 g & 2 i \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} d & e \\ 2 g & 2 h \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$c | \begin{array}{c} d & e \\ 2 g & 2 h \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$a | \begin{array}{c} e & f \\ 2 h & 2 i \end{array} | - b | \begin{array}{c} d & f \\ 2 g & 2 i \end{array} | + c | \begin{array}{c} d & e \\ 2 g & 2 h \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} e & f \\ 2 h & 2 i \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (e (2 i) - 2 h f) - b | \begin{array}{c} d & f \\ 2 g & 2 i \end{array} | + c | \begin{array}{c} d & e \\ 2 g & 2 h \end{array} |$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $e$ .

$a (2 e i - 2 h f) - b | \begin{array}{c} d & f \\ 2 g & 2 i \end{array} | + c | \begin{array}{c} d & e \\ 2 g & 2 h \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} d & f \\ 2 g & 2 i \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (2 e i - 2 h f) - b (d (2 i) - 2 g f) + c | \begin{array}{c} d & e \\ 2 g & 2 h \end{array} |$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de $d$ .

$a (2 e i - 2 h f) - b (2 d i - 2 g f) + c | \begin{array}{c} d & e \\ 2 g & 2 h \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} d & e \\ 2 g & 2 h \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (2 e i - 2 h f) - b (2 d i - 2 g f) + c (d (2 h) - 2 g e)$

Étape 4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a (2 e i - 2 h f) - b (2 d i - 2 g f) + c (2 d h - 2 g e)$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$a (2 e i) + a (- 2 h f) - b (2 d i - 2 g f) + c (2 d h - 2 g e)$

Étape 5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a \cdot 2 e i - 2 a h f - b (2 d i - 2 g f) + c (2 d h - 2 g e)$

Étape 5.3

Déplacez $2$ à gauche de $a$ .

$2 a e i - 2 a h f - b (2 d i - 2 g f) + c (2 d h - 2 g e)$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 a e i - 2 a h f - b (2 d i) - b (- 2 g f) + c (2 d h - 2 g e)$

Étape 5.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 a e i - 2 a h f - 2 b (d i) - b (- 2 g f) + c (2 d h - 2 g e)$

Étape 5.6

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 a e i - 2 a h f - 2 b (d i) + 2 b (g f) + c (2 d h - 2 g e)$

Étape 5.7

Supprimez les parenthèses.

$2 a e i - 2 a h f - 2 b d i + 2 b g f + c (2 d h - 2 g e)$

Étape 5.8

Appliquez la propriété distributive.

$2 a e i - 2 a h f - 2 b d i + 2 b g f + c (2 d h) + c (- 2 g e)$

Étape 5.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 a e i - 2 a h f - 2 b d i + 2 b g f + 2 c d h + c (- 2 g e)$

Étape 5.10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 a e i - 2 a h f - 2 b d i + 2 b g f + 2 c d h - 2 e c g$